Áreas y Volúmenes del Prisma Pentagonal, Pirámide Cuadrangular,Cilindro y Cono.

Elaborado por: Jonnathan Guamàn Latacela.

PRISMAS

Los prismas son poliedros en los que dos de sus caras, llamadas bases son polígonos y son paralelas e iguales, mientras que las caras laterales son paralelogramos.

Elementos de un Prisma

• Bases: Son los dos polígonos iguales.
• Caras Laterales: Son los paralelogramos.
• Aristas laterales: Son los lados de las caras laterales.
• Aristas Básicas: Son los lados de las bases.

A continuación un prisma del que sacaremos el perímetro, área lateral, área total y el volumen.

Calcular el área lateral, área total, y el volumen del siguiente prisma pentagonal que tiene 39cm de altura y 13cm de lado.

Para resolver este ejercicio comenzamos sacando el perímetro y luego el área de la base es decir de la parte de arriba y abajo que tiene 5 lados. El perímetro es igual al número de lados por el 

tamaño del lado.

1.PERÍMETRO

P= NL * TL

P= 5 * 13cm

P= 65cm

2.ÁREA DE LA BASE

Ab= l * l

Ab= 13cm * 13cm

Ab= 169cm²

3. Con el área de la base procedemos a sacar el área lateral. Esta es igual al perímetro de la base multiplicado por la altura del prisma es decir:

AL= Pb * h

AL= 65cm * 39cm

AL= 2535cm²

 4.Con esto sacamos el área total que es el área lateral + 2 multiplicado por el área de la base es decir:

AT= AL+2*Ab

AT= 2535cm² + 2 * 169cm²

At=2873cm²

5. Sacamos el volumen del prisma que es igual al área de la base por la altura, es decir:

V= Ab * h

V= 169cm² * 39cm

V= 6591cm³

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LA PIRÁMIDE

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, qué es un polígono con un cara, y por caras que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice. En geometría, una pirámide cuadrada es una pirámide de base cuadrada. Si la cúspide está situada exactamente sobre el centro del cuadrado, la pirámide tendrá simetría

A continuación un ejercicio de una pirámide cuadrangular.

Calcular el área lateral, área total y el volumen de una pirámide de base cuadrangular que mide  7cm de lado y 19cm de altura.

1. Para comenzar debemos sacar el área de la base

AB= l * l

AB= 7cm * 7cm

AB= 49cm²

2. Calculamos el perímetro de la base que es igual al número de lados por el tamaño del lado

Pb= NL * TL

Pb= 4 * 7cm

Pb= 28cm

3. Sacamos el apotema para sacar esto aplicamos el Teorema de Pitágoras podríamos decir que se forma un triángulo rectángulo y la apotema es como la hipotenusa es decir:

Aquí ponemos 3.5² porque dividimos la altura que es 7  para 2

4. Sacamos el área lateral que es igual al perímetro de la base multiplicado por el apotema y esto divido para dos, es decir:

5. Calculamos el área total que es la suma del área lateral con el área de la base, es decir:

AT= AL + Ab

AT= 98cm² + 49cm²

AT= 147cm²

6. Sacamos el volumen de la pirámide que es la tercera parte del producto entre el área de la base y la altura de la pirámide. El volumen es igual al área de la base multiplicada por la altura sobre 3, es decir:

V= (AB*h)/3

V= (49cm² * 19cm)/3

V= 310,33cm³

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EL CILINDRO

En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro. En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia una paramétrica de líneas paralelas.

Calcular el Área de la base, el área lateral, área total y el volumen de un cilindro que tiene como  altura 26cm y de radio 7cm.

Primero para resolver esto necesitamos saber el valor de π que es 3,14

ÁREA DE LA BASE: Al descomponer el cilindro obtenemos dos bases, el área de la base es igual a  π  multiplicado por el radio al cuadrado, es decir:

Ab= π* r²

Ab= 3, 14(7cm) ²

Ab= 3, 14 * 49cm²

Ab= 153,86cm²

ÁREA LATERAL: Para obtener el área lateral que al descomponer queda casi como un rectángulo aplicamos la siguiente fórmula:

Al=  2*π*r*h

Al= 2*3,14*7cm*26cm

Al= 1142,96cm²

ÁREA TOTAL: Para obtener el área total aplicamos la siguiente fórmula:

AT= 2*π*r² + 2πr h

AT=2(3, 14)(7cm)² + 2(3,14)(7cm)(26cm)

AT= (2 *3, 14*49cm²) + (2*3, 14*7cm*26cm)

AT= 307,72cm² + 1142, 96cm²

AT= 1450, 68cm²

VOLUMEN: Para sacar el volumen del cilindro aplicamos la siguiente fórmula que corresponde a esto.

V= π*r²*h

V= 3, 14(7cm) ²*26cm

V= 3, 14(49cm²)*26cm

V= 4000, 36cm³

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EL CONO

En geometría un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Calcular el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen de un cono que tiene una altura de 19cm y un radio de 8cm.

Para comenzar a resolver esto primero sacaremos  la generatriz ya que la necesitamos para las áreas, para esto observamos que el radio y la altura con un lado del cono forman un triángulo rectángulo entonces para  sacar la generatriz aplicamos el Teorema de Pitàgoras poniendo que la generatriz funcione como hipotenusa y la altura y el radio como catetos.

Es decir:

ÁREA DE LA BASE: Al descomponer un cono nos damos cuenta que la base de este es un circulo y el área de un circulo es igual a π multiplicado por el radio al cuadrado.

Ab= π*r²

Ab= 3,14(8cm)²

Ab= 3,14(64cm²)

Ab= 200,96cm²

ÁREA LATERAL: Para sacar el área lateral aplicamos la siguiente formula.

AL= π*r*g

Al= 3,14*8cm*20,61cm

Al= 517,72cm²

ÁREA TOTAL: El área total es igual a la suma del área de la base con el área lateral

AT= AL + Ab

AT= 517,72 cm² + 200,96cm²

At= 718,68 cm²

Volumen: Para el volumen aplicamos la siguiente formula .

Si quieres ver un poco mas entra en esta página o mira el vídeo

Como podemos ver este proceso de resolver prismas, pirámides, cilindros y conos es fácil si aplicamos las respectivas fórmulas, para adentrarse mucho Más en el tema revisar la siguiente página en donde encontraran varias fórmulas de varias figuras, o también a esta otra página.

Bueno espero que les haya interesado este tema y cualquier pregunta o error por favor escriban en los comentarios.